Deine Aussage wäre richtig, wenn ich 'Wert' als 'Ausgangswert' definiert hätte.lifesgood hat geschrieben:... das stimmt so nicht, aber Tante Google hilft.
Was Du schreibst würde auch auf eine lineare Veränderung zutreffen. Ladon hatte das schon recht verständlich erklärt. Es ist der Zinseszinseffekt, der die Exponentialfunktion ausmacht, deshalb fängt auch eine Exponentialkurve sehr flach an, um im Endstadium fast senkrecht nach oben zu gehen. Weil eben der Zinseszinseffekt bezogen auf den Ausgangswert immer höher wird.
lifesgood
Starinvestor sagt Einbruch des Goldpreises voraus
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Deine Grundaussage war:AuCluster hat geschrieben:
Deine Aussage wäre richtig, wenn ich 'Wert' als 'Ausgangswert' definiert hätte.
... und das ist schlicht und ergreifend falsch, weil es sugeriert, dass alleine die Proportionalität zum Wert (egal ob Wert oder Ausgangswert) schon ausreicht, damit eine Exponentialfunktion vorliegt.AuCluster hat geschrieben:Exponentialfunktion ist immer dann, wenn die Änderung eines Wertes (z.B. Geldmenge) proportional zum Wert ist.
Ich will es an einem Beispiel festmachen: Zweimal eine Festgeldanlage; einmal werden die Zinsen ausbezahlt und einmal werden die Zinsen zum Festgeld addiert. In beiden Fällen ist der Zinssatz gleich und proportional zum Wert. Aber nur bei dem Festgeld wo die Zinsen stehenbleiben entwickelt sich das Festgeld exponential.
Dabei will ich es aber dann auch belassen ...
lifesgood
Egal ob die Anekdote stimmt oder nicht: Sie bringt zum Ausdruck, was Psychologen schon lange wissen. Unser Gehirn ist nicht in der Lage eine exponentielle Entwicklung intuitiv zu erfassen. Wir können (!) sie gar nicht "begreifen", sondern brauchen immer das Hilfsmittel der Mathematik dazu, um zu realisieren, was da passiert, wenn die Kurve in die wirklich steile Phase übergeht.
Dieses "Unvermögen des Geistes" macht es ja auch so einfach, die Leute immer wieder in die Falle rennen zu lassen. Am Anfang (und es gibt ja Methoden und Mittel die Kurve zu "strecken") ist der Unterschied zu einer linearen Entwicklung praktisch unspürbar ... bis dann das Erwachen kommt, ist es aber zu spät.
Das Problem liegt wohl eher darin, dass der Mensch, bedingt durch seine Lebenserwartung nur relativ kurze Zeiträume betrachtet und da fällt das nicht so auf.
Es ist jetzt ziemlich genau 10 Jahre her, da habe ich das erste mal von der "Josephspfennigrechnung" gehört und dadurch wurde mir persönlich die Dramatik einer Exponentialfunktion über längere Zeiträume erst bewußt.
lifesgood
Definition von exponentiellem Wachstum ist:
Exponentielles Wachstum liegt dann vor, wenn in gleichen Zeitabschnitten der Bestand um die gleiche Prozentzahl wächst.
Beispiel:
Zeitraum 1 Jahr, Zunahme nach jeweils einem Jahr 5 %, Anfangskapital K0
nach n Jahren liegen dann
Kn = K0 * 1,05^n vor. Also exponentieller und kein linearer Zusammenhang
Nach einem Jahr kommen zu den vorhandenen 100% die 5% Zinsen dazu, also 105 %. Also nach jedem Jahr mit Faktor 1,05 multiplizieren.
Verdoppelungszeit wird so verstanden:
Die Zeit für das Verdoppeln von 100 € auf 200€ ist die gleiche wie von z.B 423€ auf 846€.
Mit verdoppelungszeit meint man nicht:
100€ verdoppeln 200€ und dann 300€, dann 400€ sondern
100€, 200€,400€,800€
AuCluster schreib das schon richtig:lifesgood hat geschrieben:Deine Grundaussage war:AuCluster hat geschrieben:
Deine Aussage wäre richtig, wenn ich 'Wert' als 'Ausgangswert' definiert hätte.
... und das ist schlicht und ergreifend falsch, weil es sugeriert, dass alleine die Proportionalität zum Wert (egal ob Wert oder Ausgangswert) schon ausreicht, damit eine Exponentialfunktion vorliegt.AuCluster hat geschrieben:Exponentialfunktion ist immer dann, wenn die Änderung eines Wertes (z.B. Geldmenge) proportional zum Wert ist.
lifesgood
Exponentialfunktion ist immer dann, wenn die Änderung eines Wertes (z.B. Geldmenge) proportional zum Wert ist.
Wert in der Aussage von AuCluster ist hier aktueller Wert und nicht Ausgangswert. Bei Ausgangswert würde eine Gerade vorliegen. Bei aktueller Wert ist es eine Exponentialfunktion.
Auch kann sich eine Exponentialfunktion nicht bei der einmaligen Änderung eines Wertes ergeben. Eine einmalige Änderung wäre immer linear. Daher bezieht sich ja eine Exponentialfunktion auf den Ausgangswert.
Eine Exponentialfunktion ergibt sich zwangsläufig erst bei mehrmaligen Änderungen eines Wertes und zwar erst dann, wenn für die erneute prozentuale Änderung nicht mehr der Ausgangswert, sondern der Ausgangswert + Zins als Basis herangezogen wird. Denn somit wird bei nominal gleichem Zinssatz der absolute Zins höher, weil die Basis für die Zinsberechnung höher wird. Du attest das oben ja selbst schon recht schön beschrieben, wobei die Exponentialfunktion auch eintritt, wenn der Zinssatz nicht stabil bleibt, sofern der Zinssatz positiv ist. Die Exponentialkurve ist dann nur nicht so lehrbuchmäßig wie bei einem gleichbleibenden Zinssatz.
Bei kurzen Betrachtungsräumen über wenige Jahre spielt dieser Faktor keine große Rolle, wohl aber wenn man es über Jahrzehnte oder gar Jahrhunderte hinweg betrachtet.
Ist aber durchaus möglich, dass wir dasselbe meinen, es aber anders ausdrücken und deshalb aneinander vorbeireden.
lifesgood
Aber mamü - es ist doch absolut sch...egal von welcher Seite Du das Pferd aufziehst. Tatsache bleibt, dass bei einer Exponentialfunktion sich der Ausgangswert in immer kürzeren Zeitspannen jeweils verdoppelt. Im Beispiel oben verdoppelt sich der Ausgangswert zum ersten Mal nach 14,2 Jahren, dann schon nach (22,51-14,2 =) 8,31 Jahren verdoppelt er sich erneut und dann immer schneller.
Das ist eine mathematisch beweisbare Tatsache.
Okay, ob das die akademische Definition einer Exponentialfunktion ist, weiß ich nicht - aber es ist doch unbestreitbare Folge einer exponentiellen Entwicklung!
Oder so:
Ob ich es nun in dieser Form ausdrücke oder als "In gleich großen Intervallen ändert sich der Funktionswert um den gleichen Faktor" ... das hat doch das gleiche Ergebnis!
Wir druecken es nur anders aus.lifesgood hat geschrieben:
Ist aber durchaus möglich, dass wir dasselbe meinen, es aber anders ausdrücken und deshalb aneinander vorbeireden.
lifesgood
Du beziehst dich auf die Exponentialgleichung und ich bzw. mamue auf die dahinter liegende Differentialgleichung.
Aber die Staatsverschuldung kann keine Exponentialfunktion sein, weil der Zins zeitabhaengig ist. Momentan zahlt der Bund weniger Zinsen als vor drei Jahren, obwohl der Schuldenstand angewachsen ist. Das widerspricht dem Verhalten einer "reinen" Exponentialfunktion.
- Goldhamster79
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Sie sind nur einer der Einflussfaktoren zu unaugeglichenen Haushalten und einem damit verbundenem Aufschuldungsbedarf, nur ein Einflussfaktor auf das Tempo, mehr aber auch nicht.
... das ist vollkommen richtig. Aber ich denke nicht, dass historische Extreme, wie der momentan historisch niedrige Zinssatz für Deutsche Anleihen von Dauer sind.AuCluster hat geschrieben:
Aber die Staatsverschuldung kann keine Exponentialfunktion sein, weil der Zins zeitabhaengig ist. Momentan zahlt der Bund weniger Zinsen als vor drei Jahren
Und wenn wir dann wieder zu "normalen" Zinssätzen zurückkehren, wird es übel. Bei 2,1 Billionen Verschuldung macht jedes Zinsprozent eine zusätzliche Belastung von 21 Milliarden für den Haushalt.
lifesgood
Du beziehst das Verdoppeln immer auf den Anfangsbestand, damit ist deine Aussage richtig und trotzdem sprachlich sehr irreführend. Dein Sprachgebrauch im Sinne von Verdoppeln ist so nicht üblich.Tatsache bleibt, dass bei einer Exponentialfunktion sich der Ausgangswert in immer kürzeren Zeitspannen jeweils verdoppelt.
Beispiel:
Wenn sich ein Bestand von 100 Einheiten nach einem Jahr verdoppelt, ergeben sich folgende Bestände:
0Jahre : 100
1 Jahr: 200. Jetzt haben wir 200 und Verdoppeln des jetzigen Bestandes ist dann 400 und nicht 300
2:Jahre 400
3Jahre: 800
4 Jahre: 1600
Diese Reihe beschreibt die Verdoppelung und sie bezieht sich beim Verdoppeln nicht auf den Anfangsbestand, sondern auf den aktellen Bestand.
Wenn wir heute Gold bei 1660$ haben, dann ist das Doppelte 3320$ und nicht z.B 1860$, weil du zufällig vom Anfangsbestand z.B 200$ ausgehst.
Wie man an der obenen Bestandsentwiklung sieht, sind die Verdoppelungszeiten (im Sinne von aktueller Bestand Verdoppeln und nicht Anfangsbestand dazuzählen) gleich und vom Anfangsbestand unabhängig.
Aber ernsthaft, wer macht das? Gerade bei der Staatsverschuldung (um die es ja ursprünglich ging) wird ja immer ein längerer Zeitraum betrachtet.
Selbiges beim von Dir angeführten Goldpreis. Den betrachtet doch jeder ausgehend von seinem persönlichen Durchschnittskaufpreis, also doch vom Anfangswert aus.
lifesgood.
Bei linearem Wachstum haben gleiche Zeiträume den gleichen Summanden, um den sich der Wert erhöht.
Beispiel:
Schulden 1807: 1 Euro
Schulden 1812: 2 Euro
Schulden 2007: 41 Euro
Schulden 2012: 42 Euro
=> gleicher Zeitraum von 5 Jahren mit jeweils dem gleichen Anstieg von konstant 1 Euro (linear)
Bei exponentiellem Wachstum haben gleiche Zeiträume den gleichen Faktor, um den sich der Wert erhöht.
Beispiel:
Schulden 1807: 1 Euro
Schulden 1812: 2 Euro
Schulden 2007: 1.000.000.000.000 Euro
Schulden 2012: 2.000.000.000.000 Euro
=> gleicher Zeitraum von 5 Jahren mit jeweils dem gleichen Anstieg um konstant Faktor 2 (exponentiell)
Es gibt natürlich auch über-exponentielles Wachstum, z.B. auf Basis einer Reihe der Ackermann-Funktion. Diese ist aber nicht nach dem ehemaligen Vorstansvorsitzenden der Deutschen Bank benannt. Offenbar haben sich auch andere Leute dieses Namens mit exorbitantem Wachstum beschäftigt...
Jeder macht das so:lifesgood hat geschrieben:... so kann man es natürlich auch betrachten, dass immer vom aktuellen Stand aus die Verdoppelungszeit gleich ist.
Aber ernsthaft, wer macht das?
lifesgood.
Du hast 100€ und bekommst 5 % Jahreszins (Zineszinsrechnung):
0Jahre: 100€
1Jahr: 100€* 1,05, wobei sich der Faktor 1,05 aus 100% aktuellem Bestand am Jahresanfang plus 5% Zins = 105%=1,05 ergeben (Vereinfachter Dreisatz)
2Jahr: 100*1,05 * 1,05 = 100*1,05 hoch 2
3Jahr:100*1,05 hoch 3
Um das Kapital nach 4 Jahren zu berechnen, nimmt man das Kapital nach 3 Jahren und multipliziert es mit 1,05
das ist aber genau das:
lifesgood hat geschrieben:... so kann man es natürlich auch betrachten, dass immer vom aktuellen Stand aus ......
Aber ernsthaft, wer macht das?
lifesgood.
Genau dieser Zinseszinsefekt ergibt das exponentielle Wachstum.
Bei diesm Beispiel ist der Verdoppelungszeit: ln 2/ ln 1,05 = 14,2 Jahre = konstant.
Wenn sich ausgehend von einem Funktionswert f(x) eine bestimmte Steigerung des Wertes in immer kleineren Intervallen findet, so bedeutet das nur, dass die Steigung der Funktion selber ansteigt, also dass die Ableitung (Steigung) der Funktion f'(x) ebenfalls steigt, also f''(x), die zweite Ableitung (Steigung der Steigung), positiv ist. Das ist aber keinesfalls ein Hinweis auf exponentielles Wachstum, da es auch mit polynomialem Wachstum erreicht wird.
Die Ableitung (Steigung) der Exponentialfunktion ist ebenfalls die Exponentialfunktion. Entsprechend ist also auch die n-te Ableitung die Exponentialfunktion für alle n. Die (n+1)te Ableitung eines Polynoms n-ten Grades hat hingegen immer den Wert 0.
Es macht für den Anleger wohl, aber für den Mathematiker keinen Sinn von einem bestimmten Startwert x auszugehen, da er, wenn keine Einschränkung genannt oder ersichtlich ist, davon ausgeht, dass die Funktion für alle Werte definiert ist und somit keinen Anfang hat, das gilt insbesondere für lineare, polynomiale und exponentielle Funktionen.